Лема Брезіса — Ліба

У математичному аналізі лема Брезіса — Ліба є основним результатом в теорії міри. Вона названа на честь Хайма Брезіса та Елліота Ліба, які довели її в 1983 році. Лему можна розглядати за певних умов як покращення леми Фату до рівності. Вона була корисна при дослідженні багатьох варіаційних проблем.

Лема та її доведення

Твердження леми

Нехай $(X,\mu )$ — простір із мірою, а $\{f_{n}\}$ — послідовність вимірних комплекснозначних функцій на $X$, які майже скрізь збігаються до функції $f$. Гранична функція $f$ — вимірна автоматично. Лема Брезіса — Ліба стверджує, що якщо $p$ — додатне число, то

$\lim _{n\to \infty }\int _{X}\left||f|^{p}-|f_{n}|^{p}+|f-f_{n}|^{p}\right|\operatorname {d} \mu =0,$

за умови, що послідовність $\{f_{n}\}$ є рівномірно обмеженою у просторі $L^{p}(X,\mu )$. Суттєвим наслідком, який посилює лему Фату у застосуванні до послідовності $|f_{n}|^{p}$, є рівність

$\int _{X}|f|^{p}\operatorname {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\left(\int _{X}|f_{n}|^{p}\operatorname {d} \mu -\int _{X}|f-f_{n}|^{p}\operatorname {d} \mu \right),$

що випливає з нерівності трикутника. Цей наслідок часто приймають як твердження леми, хоча він не має більш прямого доведення.

Доведення

Доведення базується на нерівностях

${\begin{aligned}W_{n}\equiv \left||f_{n}|^{p}-|f|^{p}-|f-f_{n}|^{p}\right|&\leq \left||f_{n}|^{p}-|f-f_{n}|^{p}\right|+|f|^{p}\\&\leq \varepsilon |f-f_{n}|^{p}+C_{\varepsilon }|f|^{p}.\end{aligned}}$

Наслідком є те, що $W_{n}-\varepsilon |f-f_{n}|^{p}$, яке майже скрізь збігається до нуля, обмежується зверху інтегровною функцією, незалежно від $n$. Спостерігаємо, що

$W_{n}\leq \max \left(0,W_{n}-\varepsilon |f-f_{n}|^{p}\right)+\varepsilon |f-f_{n}|^{p},$

а застосування теореми Лебега про мажоровану збіжність до першого члена з правої частини показує, що

$\limsup _{n\to \infty }\int _{X}W_{n}\operatorname {d} \mu \leq \varepsilon \sup _{n}\int _{X}|f-f_{n}|^{p}\operatorname {d} \mu .$

Обмеженість супремуму в правій частині при довільному $\varepsilon$ показує, що ліва частина повинна бути нульовою.

Див. також

• Теорія міри
• Простір із мірою
• Лема Фату
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність
• Варіаційне числення

Джерела

• V.I. Bogachev. Measure theory. Vol. I. Springer-Verlag, Berlin, 2007. xviii+500 pp. ISBN 978-3-540-34513-8
• Haïm Brézis and Elliott Lieb. A relation between pointwise convergence of functions and convergence of functionals. Proc. Amer. Math. Soc. 88 (1983), no. 3, 486—490. DOI:10.1090/S0002-9939-1983-0699419-3
• Lawrence C. Evans. Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 74. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; by the American Mathematical Society, Providence, RI, 1990. viii+80 pp. ISBN 0-8218-0724-2
• P.L. Lions. The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The limit case. I. Rev. Mat. Iberoamericana 1 (1985), no. 1, 145—201.
• Elliott H. Lieb and Michael Loss. Analysis. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 14. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xxii+346 pp. ISBN 0-8218-2783-9
• Michel Willem. Minimax theorems. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 24. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996. x+162 pp. ISBN 0-8176-3913-6